五年級下學期「分數計算」單元教學紀錄

 

數學想法除乘互換.jpg

 

寫在前頭

        五下分數計算的教學核心在「分數倍」。過去孩子在整數的世界中乘以幾倍,這種「倍數」的感受是累加、複製、越乘越大的;來到「分數倍」的世界卻是分割、等分、越乘越小的陌生國度。

    從孩子的認知發展去安排分數教學活動,是我這次備課與教學的最大收穫。如何將抽象的分數單元藉由具體操作,帶領孩子有趣而開放的去經驗、思考與理解數學?

    感謝亮點計畫,邀請朱志青老師入班教學示範,一起備課與議課。當看見孩子投入在數學思考的樂趣中,自由自在的建構他們的數學想法時,我們才有機會相信,這美好的理想值得更多的時間去萌芽......

 

我的備課與教學路徑

 

     康軒版五年級下學期「分數計算」單元活動有「分數×整數」、「整數×分數」、「分數×分數」、「關係」、「分數÷整數」五個。

 

     活動一「分數×整數」

    延伸四年級「假」分數的整數倍,多了一個用「分配律」的方式學新的「帶」分數的整數倍。活動一對學生而言,只要透過畫圖表徵,或是累加的概念去理解倍數,算是很容易學習的。

 

分數乘整數1.jpg

老師布題

 

分數乘法_180320_0001.jpg

個別解題(先畫圖)

 

分數乘整數2.jpg

分數乘整數3.jpg

個別解題(再列式)

 

分數乘整數5.jpg

小組兩兩討論與解釋

分數乘整數4.jpg

從畫圖到解釋都能說清楚講明白

 

    活動二「整數×分數」

    也就是「整數的分數倍」,活動二才是揭開五年級分數乘法新概念「分數倍」的重要學習。在自己備課、與老師討論備課、自行教學、老師示範教學後,才深刻體會「÷m=×1/m」的重要意涵。

數學想法除乘互換.jpg

 

   

    分數倍是指將「單位量等分切割」後的「整數倍」概念

雖然是乘法,但學生在學習「整數×分數」(整數的分數倍)時,能理解的卻是從除法(平分成幾等份,每一份的量)的概念去連結至分數乘法(平分成幾等份取其中一份的量)。

例如「一盒鑽石有6顆,1/3盒有幾顆?」學生會使用的是「除法」將6÷3=2。這熟悉的6÷3(平分成3等份,每一等份是2顆),在這次的學習目標要能連結至乘法,寫出並解釋6×1/3的意義(平分成3等份取其中一份是2顆)。

於是,預期學生理解6÷3=6×1/3後,能跨越除法列式,晉升為使用乘法列式。

    計算「一盒鑽石有6顆,1/3盒有幾顆?」讓孩子從穩固又自然的6÷3列式子,過度到能運用乘法算式列出×1/3,這是個很重要的歷程。

不過這樣的想法一直到我已經上完這單元的課程後才豁然開朗。

數學想法乘除互換2.jpg

   

    在中年級「一盒鑽石有6顆,1/3盒有幾顆?」學習的是將6顆平分成3份,其中的一份就是2顆,這是基本的分數概念。同樣的題目「一盒鑽石有6顆,1/3盒有幾顆?」連結到現在五年級分數倍新課程,學習到的卻是1/3「倍」,理解的數學概念是比較抽象的「倍數關係」。

 

       我在備課初始,覺得課本並列左右除法和乘法的算式很混淆,於是刻意避開,捨棄康軒課本的鋪陳,直接從「乘法」的「整數倍」布題至「分數倍」。當我發下一張紙摺1/4,問:一張紙的1/4是幾張紙?學生立刻回應給我的算式就是1÷4。不想遇到的除法,卻是孩子如實又自然的理解方式啊!在與老師備課後發現分數倍布題比較適合運用離散量,這樣單位分數的量能清楚的被點算出來,從單位分數到真分數的倍數關係看得比較清楚。

     於是在和老師備課時,提醒了我讓孩子開放解題,鼓勵不同的解題策略,大家都可以聽到不同思維在解決相同的題目。最後在課都上完了,我突然體會了,老師應該做的就是將孩子的舊經驗,想方設法連結至分數倍新知識,從孩子的理解去建構新知識,才是穩固牢靠的學習過程。

  這本以為自己擁有的開放理念,透過課程示範狠狠的回擊我一棒!原來每個人的開放的程度,也會受限於能力所及,看來在分數單元教學所下的功夫還不夠啊!   

    當孩子能自己說出6×1/3代表的意義是將6再分割成3取其中1,6×2/3代表6再分割成3取其中2(算式能用6×1/3×2表示)這樣才算對分數倍有了真實的理解(「單位量等分切割」後的「整數倍」概念)。

  然而這過程重要的是需要給孩子時間操作、經驗,讓學習有感後,最後克服「乘法居然會越乘越小」的陌生感。當孩子能自然的寫出6×1/3=2,就算是大功告成了!  

        此單元的「整數×分數」、「關係」、「分數÷整數」三個活動,透過老師示範教學,設計成一個「鑽石爭奪戰」活動http://goechu.pixnet.net/blog/post/462545339-%E9%91%BD%E7%9F%B3%E7%88%AD%E5%A5%AA%E6%88%B0%EF%BC%88%E5%88%86%E6%95%B8%E7%9A%84%E4%B9%98%E6%B3%95%E2%94%80%E6%95%B4%E6%95%B8%E4%B9%98%E4%BB%A5%E5%88%86%E6%95%B8%EF%BC%89

  有脈絡的串連起重要的數學概念:體會「分數倍」的越乘越小,發現「積與倍乘數的關係」,也經驗了「÷m=×1/m」。

 

活動三「分數×分數」

    當孩子能列式「整數×分數」後,進到活動三「分數×分數」就簡單多了!學習活動並無法時時精采有趣,這就是真實的課堂樣貌,但回到摺色紙的活動讓孩子去體會分數×分數時,卻是最簡單具體的操作方式。

    例如1/2×1/4,孩子手上的色紙先摺1/2,再將1/2對摺、再對摺,最後摺成的小塊就是1/2裡面的1/4,將那一小塊塗上顏色後,再把整張色紙攤開來,數一數摺痕已被平分成8等份,這1/2的1/4就是1/8張色紙。

DSC_1067.JPG

關於此單元「約分」的部分,直到「分數×分數」活動時才與學生討論這件事。透過具體操作,摺紙觀察發現3/4×1/3有兩種摺紙方式作答,一種是不需要再分割,直接可以看見3/4就是3等份,因此3/4的1/3就是1/4,另一種則是將垂直摺出的3/4,在水平的平分摺出3等份,這樣3/4的1/3就會變成3/12。透過兩個不同的答案去發現3/4×1/3=1/4在算式中3就可以互相約分了。

分數乘分數約分.jpg

學生的數學想法:不需要約分,直接從摺紙中看見答案 1/4, 2/4, 3/4, 4/4,再引導回去算式中發現約分這件事

 

活動五「分數÷整數」   

同樣摺紙活動也能發展至分數÷整數,因為有前面經驗了「÷m=×1/m」,以為讓孩子直接從小白板布題畫圖操作(用畫線的方式表達平分、再平分),卻發現對部分孩子是困難的。原來學生必須更充分的從分割色紙的具體操作開始,距離半具體畫圖表徵仍然有一段距離。

    學生在畫3/4÷2時,雖然已經把課本上本來垂直切割3/4等份的長方形,再橫切一半,但在圖上找答案時,卻只將一小格1/8塗上顏色。

 

圖色錯誤.jpg

這時老師只好再拿出具體的色紙,摺出3/4塗色之後,將3/4撕成2半。

撕色紙平分1.jpg

撕色紙2.jpg

這時詢問孩子3/4÷2,這÷2(平分成2份)的每一份是指哪裡?

圖色正確.jpg

這樣的具體經驗才能進到孩子的腦袋中。若直接在課本畫圖,畫完後被分割成的格子,孩子不太會判斷何處是答案,畫圖表徵其實進行得不如想像順利。

    至於寫算式的部分卻異常順利,這就是分數單元最神奇的地方,學生可以不理會畫圖這件事,縱使畫圖錯誤了,但是答案幾乎都是全對啊!   

 

習題與評量

活動四「關係」

    印象深刻在「鑽石爭奪戰」活動後,全班討論一位同學的數學想法:「一個數字『遇到』分數,答案會變小」。老師將這表達尚未完整的思維搭橋讓全班思考,最後討論出「一個數字乘以真分數(<1)答案會變小」、「一個數字乘以假(帶)分數(>1)答案會變大」、「一個分數乘以1答案會不變」,這樣有情境脈絡的學習活動四「關係」是很有意義的。

數學想法3.jpg

    但翻開習作,畫面變成一排排整齊無意義的數字,學生閱讀這些抽象數字並不是每個人都能靈活的連結到情境中去思考,這中間就是孩子自己說的「峽谷」,他們說可以不要看數學課本嗎?我們學會就好了!老師心裡也是這樣想啊!但是...讀題作答、準備考試是很重要的現實啊!因此回到習作的題型帶孩子閱讀理解有其現實的重要性

課本習題.jpg

    此外,孩子課堂上的討論,和課後產出的「數學想法」就是最好的形成性評量,搭配數學筆記或日誌的整理,已充分呈現學習歷程。老師的教學安排只要能任務導向,讓學生充分操作討論,我想每個人的學習狀態老師都能一目了然。

總結四題筆記2.jpg

總結四題筆記.jpg

    在捨棄課本,開放自主的教學後,如何診斷學生是否掌握這單元的重點呢?我在孩子的數學筆記出了四道「情境題」,讓他們列式,先畫圖理解,再作答。

進階總結筆記.jpg

進階總結筆記2.jpg

進階版的數學筆記是隔天轉換成出四個「算式」,讓孩子練習出題和畫圖作答即可。概念不清楚的孩子,私下補強的方式也是繼續出題讓他畫圖與說明給老師聽。

畫圖分數除整數.jpg

 

分數教學的困境

  分數單元在「理解」與「計算」之間,就像學生說的,有跨不過去的「峽谷」。若從「理解」出發,那麼必定是一條讓思考自由的路,卻也是返回課本艱辛的路。

    分數「計算」簡單到不用教,套公式就能算了。如果數學可以無腦解題,那非「分數」單元莫屬!這是大腦自以為聰明的運作,選簡單的迴路啊!

    當答案只要機械化的計算就有了,何需找麻煩的去思考算則背後的意義呢?我覺得「假會」也是分數單元學不好的原因之一。

  我覺得面對分數單元教學的大挑戰是,如何讓孩子願意丟掉機器人計算模式,切換成有意義的去思考、理解數學?雖然邀請了朱老師進到班級教學示範,在老師點燃學生的思考力後,這一發不可收拾的多元解題策略,最後仍受限於時間有限,考試進度的追趕,不得不回到現實。

    如果說朱老師做的是帶著孩子脫離課本的框架,自由自在的思考,那麼思考理解後,是否能接續習題計算、考試得分,這後半的工作就落到我上頭了。老師努力在學生思維與學習重點搭上一條美麗的橋,這從學習重點走出去思考的康莊大道後,換我在帶孩子跨越峽谷回到課本解題時,早已意興闌珊。

    翻開習題,孩子就像被大腦催眠的機器人,開啟有效率的計算模式,之前思考討論的美好世界,又留下多少?我不禁感嘆,何時分數單元的課本與評量方式,能趕得上學習的需求呢?但不管如何,我的現實可以努力的是,必須更完備分數單元的教學脈絡,老師的功力提升才有辦法讓孩子自由自在的思考,不只有學生想要學習的自由,老師也想要丟掉課本框架的自由啊!

 

文章標籤
創作者介紹
創作者 流芳 的頭像
流芳

寫我教學現場

流芳 發表在 痞客邦 留言(0) 人氣()