話頭：
嚴格說起來，這2018年的數學生活指的是：從2017年9月至今完整的107學年度。感受著學習的角色從老師變成學生、學習的焦點從學生移動到數學教材教法。可以專注投入在學習上的生活是很享受的。
此篇紀錄是為數學亮點社群舉辦的亮點故事徵文整理的三篇文章合成，也是這一年帶領學校數學亮點社群的學習成果。內容有取自部落格另外兩篇數學營的備課紀錄，這一年因為亮點計畫的申請收穫很多，本以為寫不出來的故事全因因五月的兩件大事：花蓮學測的風波以及志青在花蓮的去留問題，找到了很大的書寫動力。
亮點從奠基模組開始(1)好好玩數學營
兩三年前，偶然瞧見光復鄉部落的孩子有一箱箱數學奠基教具，我詢著網址打了電話去台師大數教育中心，得到的答案是「花蓮沒有辦研習！要等...」這一等就是兩年後。
這遲來的2017年原來是等待著朱志青老師到花蓮擔任教學訪問教師。我在2017年四、五月的兩個周末參加一期活動師培訓後，隨即暑假在學校辦了中、高年級數學營，接著數學營的效應，伴著學校同事們的好奇眼光，以及志青老師到花蓮開始擴大......
★數學奠基活動在花蓮
拿著最少15人簽名的「亮點學校」申請表，跑班去各學年邀請簽名時，沒想到10分鐘左右成功達標。接著就是在開學的校務會議上，校長說：「這是第一次有老師自主社群，主動表達研習的需求，簽名的還不少！學校行政會全力支持......」
回想最初投入奠基的熱情，4、5月拿到一期活動師後，暑假尾聲趕場台東二期培訓，在差點錯過火車、下大雨狂奔的窘態後，總算在阮正誼老師的訊息中得知朱志青老師到花蓮擔任訪問教師。有老師在花蓮感覺很夢幻，卻也很踏實。
如今亮點計畫不僅在上學期讓宜昌國小順利產出22位活動師，接下去在活動師大會師請林福來教授答應在花蓮辦理三期師培，又在電話拜託花蓮輔導團辦理二期師培，最後更在志青老師的申請下在花蓮南區串起了一期師培，花蓮的奠基活動師培訓像接力似的趕進度，在這學期一口氣把1、2、3期都辦完畢了！
2018年5月19日結束在我的學校—宜昌國小第三期活動師培，對我而言是重要的時刻，讓我在一年中把小學六張活動師證書收集完畢，非常激動！
如今奠基進教室才在西部開始，我在東部花蓮，從22位活動師開始，在寒假數學營邀請老師們一起備課觀議課，期待更多老師把奠基模組帶回教室，讓更多孩子有機會操作。感覺越來越能幫助更多孩子有意義的學習數學，至少，奠基模組能讓更多孩子找回學習的自信與熱情。我知道雖然離真正的「奠基進教室」很遙遠，但對我已經是不可思議的開始了......
★奠基數學好好玩--「分數心臟病」模組教學
-奠基與我
「這次自己教過再回頭看，更清楚，每個步驟與順序都有既定的目的。奠基與平常上課的目標是不同的，奠基範圍鎖定得更小、更細緻，觀念的建立更清楚 .....長經驗了！」參與數學營的老師對奠基活動有以上的感想。
趁著期末校內新出爐22位活動師，將寒假數學營開放大家一起來備課、觀議課。終於不用孤軍奮戰，朝大家共好的方向努力。
數學要好玩，才有機會讓老師從好玩不知不覺走進教學的核心，發現一個個活動背後藏著的數學脈絡是什麼？每人都可以從自己的經驗中看見奠基活動的不同價值與需求，這是為什麼我喜歡奠基數學，不只是好玩而已，人人皆可從自己的教學現場轉化運用。
透過奠基我想要弄清楚數學課程的脈絡，尤其教了幾輪高年級後，很感慨遇到那些學習落後的孩子，他們底下的漏洞倒底有多深？起點又在哪裡？
-好好玩數學營．奠基活動現場
課程一開始，我搬出一大箱1/8圓學具，興高采烈的拿出一片問：「這是什麼？」學生一致的說「披薩」，於是我順著話問這樣是多少？學生看見上頭的1/8自然的回答：八分之一。
接下來我聽到有孩子說「1/8片」、有孩子說「1/8個」，到底是大單位的「個」？還是小單位的「片」？頓時教室陷入不同單位的混亂回答中...
我請小組抓回一大把一大把的黃色披薩，具體經驗從8片到組合成1個披薩，隨即想了「披薩數一數」的遊戲。當老師說：「請你幫我拿披薩」學生就要齊聲說：「拿多少？」接著老師出題：「拿3片」或「拿3/8個」或「3個」...。透過小組競賽每人輪流方式進行，能最快正確無誤的拿出或指出老師需要的披薩數量者得分。
以上的教學完全偏離「分數心臟病」這個奠基模組的教學目標...呵呵...不過實際幫助孩子從拿披薩去覺察分數大小單位的不同。
終於進行至分數序列的奠基活動，又是一個臨場想到的活動，目的是為了讓這堂課下半場接續的授課老師能連結至「分數心臟病」的撲克牌遊戲。
每組桌上固定放5個披薩，先打散成堆，比賽計時開始，透過輪流接力的方式，每拿一片披薩要按順序接力從1/8、2/8、3/8......數到40/8，看哪一組能流暢的從1/8數到40/8，且最快拼完5個披薩的小組得分。
原本以為前面複習分數概念只佔1/3課堂的時間，卻用了一半，後半終於換觀課的老師接手，從上面的活動延伸至「分數心臟病」的撲克牌遊戲。老師將分數心臟病細分成三種玩法：
基礎級玩法從「1/8數至8/8」能熟練的念出分數序列。
進階級玩法從「1/8數至10/8」進入假分數換帶分數，而選擇只往上念到10/8是配合熟悉的10進位，學生比較容易計算。我覺得這樣的安排很棒，只增加兩個假分數比較容易，很適合落後的孩子！
挑戰級玩法從「1/8數至16/8」。挑戰級要數到16/8，現場的情況大多數孩子念到11/8、12/8...之後速度變緩慢，腦袋計算大部分也打結了，實在很不容易。
原本撲克牌結束後想要再進行另一個活動，但時間已經到了，一個半小時感覺仍不夠用啊！
-奠基後續的討論
數學營結束，我們對孩子「分數大小單位卡關」的印象深刻，雖然活動進行下來算是流暢，對於能從學生混亂的大小單位中切進教學算是成功，但就是覺得哪裡怪怪的？
觀課老師自責的說不應該找她臨時代打，害奠基活動的重點走失了！(前半的迷失明明是我上課的啊！)我還安慰她：「從學生的迷失切入，走的是一條驚喜的路，這樣才有機會看見原來還有不同的問題，分數教學真不容易。」
老師的另一觀點我也很有同感：「分數的另一個困難在於日常生活使用的機率少，且只用得到粗淺的概念，甚至連四則運算都沒太能使用得上，所以學生經驗難建立。」
-對話澄清與看見
我：「用那箱1/8圓一開始就遇到了困難，小孩看到一片披薩上頭的1/8就直接說1/8？這樣好像不合邏輯，應該是說一片啊！直觀的一片被上頭的1/8數字取代了…接著就就陷入單位到底是1/8個、1/8片兩者的混亂中…」
觀課老師：「建議先讓整體一出現，才談部分1/8，1/8圓之前應該要有完整的一個圓形的學具。」
志青老師：「小單位跟大單位的混淆通常在離散量需要處理『一盒有12枝鉛筆，1枝是1/12盒』需要並列處理兩單位的轉換。但是連續量通常不會出現，因為1/8個圓就是1個圓（什麼被分），平分成8份（怎麼分），其中的1份（其中的幾份）。會比離散量單純。
你說了「1片」就是變成要處理「大單位和小單位的並列」了。先看到一個披薩，再分成八份，其中的一份你說這是一片，一樣會走進大單位小單位轉換的課。
連續量通常會避開，因為大單位小單位轉換不容易理解，連續量會聚焦在分數的意義，先熟悉了，再去處理離散量的單位轉換。」
我：「太感謝了！透過孩子的問題，老師看見了分數教學的先後與脈絡，我們跟孩子一起學習成長啊！」
觀課老師：「所以意思是，中年級不必過於要求大小單位的區分，直到離散量再來處理？之前我們在處理這樣的問題，為避免學生混淆，舉的例子都是不同單位，若是如此那就簡單多了。但記得以前教高年級時還是很多學生弄不清楚。」
我：「中年級老師因為這樣的澄清過程而看見分數教學的層次，對於較難的離散量，處理困難的兩單位並列問題比較能同理中年級孩子的困難。畢竟到高年級仍有分不清楚的，這是事實啊！」
在我追問中年級分數課程內容後，觀課老師回應說：「三年級就出現離散量，只是單位分數內容都是1，但分母數字在12以下，類似前面志青老師舉的例子，但分母數字較小：ㄧ盒水果有6顆，1/6盒是1顆。四年級離散量單位分數內容物超過1個：ㄧ盒水果6顆，1/2盒是3顆。」
我：「所以分數心臟病奠基模組雖然不是在處理『離散量兩單位並列』的問題，但是三年級孩子就會遇到這個難題了！」
志青老師：「兩單位並列的問題可以參考均一教學影片：
什麼是七分之一包？https://www.junyiacademy.org/course-compare/math-grade-3-a/g03-menfs3a/v/ivctLrGqsnc
九分之五包球
https://www.junyiacademy.org/course-compare/math-grade-3-a/g03-menfs3a/v/G_eO9QCkrNY」
-奠基收穫
課堂上意外看見孩子在分數學習上的困難「大單位和小單位」的轉換，這是上了課才有的收穫，正如文章開頭觀課老師說的那段話，自己實際上課了才有機會發現問題，從問題澄清中看見分數教學的脈絡「連續量的教學先，並且聚焦在分數的意義上，熟悉了，再去處理離散量的單位轉換問題。」
回到分數心臟病模組中的教學設計，一開始先讓學生拿一張色紙，平分成四等份。志青老師解釋說：「一張色紙平分成四等份後，跟一小張色紙會混淆，所以叫他們(每張)寫上1/4張，代表你現在看到的一小張色紙現在都叫做1/4張色紙。使用1/8個圓(的黃色學具取代色紙)的操作也是可以的。只要三年級上學期的分數學過就可以了，1/8個圓(在奠基活動中)就變成複習分數的意義用。」
經過這一遭才體會，下次在進行此模組可以在提問時避免兩單位出現的問題產生，雖然數學營中參加的是四年級的孩子，但仍需要奠基最初始分數的意義。直接談1/8圓的分數意義是什麼？八分之一個圓代表一個圓平分成八等份，其中的一份叫作1/8。
看起來簡單，其實很不簡單，看見是一回事，實際操作又是一回事。與學生一起成長，與同事一起討論，還有志青老師給予諮詢，這樣的數學教學很有動力。奠基數學之後又是另一個學習的開始...
亮點從奠基模組開始(2)花蓮之光：朱志青老師
以為是「奇蹟」，後來才知道有另一個更貼切的形容詞叫「意外」......
★央團加訪問教師的超人影響力
想到有人跟我一起踩在花蓮的土地上，呼吸同樣的空氣，感受著這裡的教育，同理著這裡的孩子......一股前所未有的力量升起，一年下來，除了「奇蹟」，我找不到更好的形容詞了！
央團老師因為有訪問教師的身份，才有機會深入在地進行教學示範，寫出說服在地老師的教學記錄，影響花蓮老師。
訪問教師因為有央團的身份，才能把最新的教學趨勢與理想運用在現場，帶花蓮的老師瞬間跳脫現實的困境，發現即使是偏鄉，同樣能以學生中心，思考、解題、愉快的學習。
這樣共伴的效應，對花蓮老師們燃起莫大的教學熱情，從一所學校到另一所，從一位老師到另一位老師，讓我們有機會從點連結到線，在教學現場孤單、疲憊的心因此機會串連起來，這無形的力量，是花蓮前進的力量，我常常想起而感動......
★期待教師再留一年
寒假時，老師要離開花蓮，(不過是打包回家過年，下學期還會回來！)我發了長篇訊息，希望他訪問教師再簽一年。如果這不是為了更大的教育愛，成就更大的教育理想，我會維持一貫的沉默。
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越來越不敢看
不要看 不要想
專注在當下
我知道如果沒有你 一切就歸零了
我知道如果不是你 我應該也沒有勇氣
這半年我應該比你還有感
你還有崇德是重心
而我的重心就是你來花蓮教數學
哪個教學訪問教師還有另一個中央輔導團的身分
瞬間看見的高度不是崇德也不是花蓮 而是台灣
有種捨命陪君子的感覺
我知道再怎麼努力也就只有這一年了
細數這半年
申請宜昌亮點基地學校
22位活動師
參加華大附小亮點
加入崇三小備課群組
成立宜昌數學亮點群組
實習生教學觀摩備課
宜昌第一份素養導向教學設計
聯合中央地方輔導團參與跨年級教學觀摩
台北亮點期中分享
一起帶宜昌數學營平日班
華大附小亮點分享
申請寒假數學營
爭取二期模組花蓮場
活動師大會師分享
為奠基進教室到花蓮而發聲
爭取三期模組花蓮場
寒假數學營開放備課觀議課
整理奠基數學教學紀錄
如果沒有你當靠山
這些都是不可能
你真是重要啊
我沒有想讓花連跟上北部的步伐
但我期望更多人一起為偏鄉教育努力
多一些人力資源而不是只有金錢的援助
我不要很會考試的補習班老師來花蓮告訴孩子怎麼把學力弄好
我期待有人能站在他們的角度想想他們的學習需求是什麼
回到成為人的天賦平等去看待每個孩子
學習不只是考試往上爬升
有多少孩子在他們家庭混亂的兒時
學校的考試教育卻是他們另一個枷鎖
直到長大掙脫家庭與學校的束縛
他們能獨立靠自己 那時的學習才正開始
而長大後的他們 仍然能對學習充滿熱情嗎
我想要成為永遠陪伴支持孩子的老師
同理小時候他們的家庭處境
小心呵護著他們
直到他們長大了
仍保有正面向上學習的動力
成績學業只是人生的一部分
當他覺得重要的時候 還有動力與熱忱前進
寫這麼多只是希望你能為花蓮再留下來一年
北部西部不缺老師
但是東部真的缺好老師
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★奠基從數學營到進教室-「綠色市集」模組教學與備課紀錄
寒假的花蓮很不平靜，0206地震前我正在整理奠基模組「綠色市集」的教學紀錄。當時持續三天的餘震人心惶惶，無法安穩入睡，因為跟志青老師在線上整理這份案例，當時真是療癒心靈的一帖良藥。
-數學營
在數學營， 「相等的比」 、 「最簡單整數比」、「比值」 看學生有沒有提出相關的內容，就配合出現，做完交換的比後，再用鉛筆盒、用相同的比賽，進行組合的比、母子的比，讓他們感受到不同情況的比。
在討論過程中會刻意提出「兩組數字的差」，會不會在每一組數字都符合？澄清「數學的比」講的是兩組數字的「商」，而不是兩組數字的「差」。
因為在日常生活中，兩組數字即使是差的關係，還是會用比這個名詞。像是籃球比賽的100:99是甲隊贏乙隊1分，而不是甲隊的分數是以對的100/99倍。這種日常生活的比會混淆數學的比。
藉這個奠基活動，讓他們有「比較多的經驗去感受」「兩組數字有倍數關係」，才能叫「比」。
-奠基進教室的教學示範
兩人一組合作，一個人拿到50張OPEN將，一個人拿到20張小熊。2張小熊換5張OPEN將。
老師從手上的大型撲克牌抽出一張，上面的數字代表需要的小熊張數。請兩人合作將小熊的張數拿出來，然後看可以換多少張OPEN將。將應該拿出的OPEN將和小熊拿出來後，就起立表示完成了。比比看哪一組又快又正確。
第一場：抽出來的撲克牌是4，所以需要4張小熊，想想看要幾張OPEN將？兩人合作拿出來後就起立。全班起立後，詢問2張小熊就可以換到5張OPEN將，4張小熊呢？(10張)。請幫隔壁那一組算算看，是否拿出4張小熊、10張OPEN將？如果正確無誤，就說：「恭喜你，得一分 ，請坐！」如果不是，就說：「很抱歉，沒得分，請坐！」
第二場：拿出8張小熊，應該要有20張OPEN將，訪問速度最快的組別，有什麼訣竅？
生：我把OPEN將5張5張疊好，這樣比較快
師：那麼，小熊呢？
生：2張2張疊好
師：這是他們可以又快又正確的訣竅，其他組別也可以先做安排，讓接下來的比賽，也能又快又正確，當然也可以互相學習，試試看最快這一組的訣竅，是不是真的讓你又快又正確。
第三次，要2張小熊，第四次，要6張小熊，慢慢的，幾乎所有小朋友都會發現小熊2張2張疊好，OPEN將5張5張疊好，會有助於得分。結束比賽，請學生觀察黑板上四組數字，看看小熊的張數、OPEN將的張數，你可以發現什麼數學想法？
歸納學生的想法：
1.當小熊的張數變成N倍時，OPEN將的張數也會變成N倍。（Ｎ可以是整數也可以是分數）
2.每一場比賽，OPEN將的張數都是小熊張數的2.5倍。
這些想法，無論如何驗證，都可以通過，才能成立成為這場遊戲的結論（「比」的數學意義），像是OPEN將的張數會比小熊張數多6，這在第一場會成立，但第二場不會成立就無法成為這場遊戲的結論。
結論：當兩組數字，符合這兩個結論的時候，我們就說這兩組數字有「比」的關係，可以在中間加上「比」的符號。
師：「10：4、20：8、5：2、15：6，這四組比，哪一組比對於剛才你比賽的時候最有幫助？」
生：「5：2」
師：「為什麼？」
生：因為這可以很快幫我找到其他組比
師：有沒有更簡單的比？
生：沒有
師：我們稱它為「最簡單整數比」
師：但是，小熊如果1張，會不會更簡單？
生：不會，應該OPEN將就不是整數了
師：拿小熊1張的時候，OPEN將應該要幾張？
生：2.5張
師：2.5：1可以代表什麼意思？
生：代表OPEN將的張數會是小熊的2.5倍
師：當小熊張數是1的時候，OPEN將的張數就是每一場比賽OPEN將對小熊的倍數，我們稱這時候的OPEN將張數為「比值」。為了方便溝通，我們將每一個比的前面的數字稱為「前項」，後面的數字稱為「後項」
「比值」可以怎麼說？1.當後項是1的時候，前項就是比值2.前項除以後項，就是比值。最後，這些比都符合前面兩個結論，比值也都一樣，我們稱他們為「相等的比」。
觀課老師：
「我為了進度，很快速的把課本活動、題型教完了，收習作回來改，果然慘兮兮，只好快搬救兵。
老師用了一個遊戲，一節課，就把這個單元的重要概念，全部都複習完。
我覺得，我現在欠缺的是，教材分析、重整的能力，難怪我一直覺得上不完，因為我跟著課本上，沒有挑出重點！」
-令人期待的奠基數學進教室
我：
帶著這次數學營的困惑，我翻開六上康軒版課本，想要從中理出「比與比值」教學的脈絡。課本編排是這樣的：活動一從交易活動中經驗比的概念、活動二比與比值、活動三相等的比、活動四比的應用。
當我對著課本看這單元的教學活動，讓我眼花撩亂的，但其實只要一個奠基活動就可以完整的串起來全部的單元概念！謝謝老師的示範。
我想我在綠色市集模組、還有老師示範的奠基進教室找到了教學方向。
數學課本的脈絡不僅是數學原理概念的串連，課本的編排若能將情境包裝得更一貫、有脈絡，在解題之前讓孩子深入經驗與思考，數學課是不是有機會擺脫題目一直來、一直算的焦慮？
我的「綠色市集」數學營和六上「比與比值」單元一起備課完畢囉！
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老師：
記得103年到104年，師大開始全台走透透，辦理數學活動師第一期培訓，我常常被分配到的課程就是綠色市集這個模組(應該至少講過20場)。聽到一些講師覺得這個模組不好講，曾經想要把自己進行這個模組的過程記錄下來，分享給其他講師，不過，一直僅僅存在於腦袋中，未曾有過具體作為。尤其在一例一休之後，活動師培訓從一天半縮減成一天後，這個模組也從第一期培訓中消失，就再也沒有這樣的想法。
上學期在崇德國小，跟六年級導師在數學課程討論時，導師對於比與比值的學習狀況感到憂慮，覺得很認真的帶學生從課本的例題去理解、去學習，最後仍然成效不佳，希望我可以過去診斷看看。我就改編了綠色市集在正式課程中，利用一節課的時候，將比與比值的重要概念藉由具體的數學活動，一一帶學生探究其中的數學意義，然後賦予數學名詞。讓學生先從有感的活動中，具體感受概念內涵的共通性，才進入簡潔的數學名詞。那是去年十月中的事......
今年寒假，芳杏學姊在花蓮縣吉安鄉的宜昌國小辦數學營，就將綠色市集納入其中一個課程。從她在數學活動師大會師中，看到嘉義垂楊國小如何將這奠基模組改成進教室的課程，也了解我們在花蓮崇德國小將這奠基模組改成進教室的課程，最後做了完整的紀錄。看了真是令人感動，我想花蓮大地震震不走教學訪問教師，因為我們還有很多的事情可以繼續努力......
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★意外收場
老師將熟悉的「綠色市集」奠基模組，帶到花蓮崇德國小，接著影響著宜昌國小的數學營。提早備課完畢的我，未來也即將在六年級上學期實際操作運用在我的教室，照顧更多孩子。
這個奠基進教室走在未來新課綱的計劃，提早讓花蓮的老師有機會學習，這不只單受惠於訪問學校一所，而是影響著台灣未來的數學教育，很榮幸有機會讓未來的數學教育能在花蓮嘗試與努力，誰說最新的只能給西部的老師、孩子？
如果訪問教師的效益可以無限的擴大，他應該被祝福與期待，而不是拒絕和限制！這一年被我視為奇蹟的影響力，最終卻是意外收場。
老師因為身兼雙份工作過於繁重，而被拒絕續聘訪問教師！感覺前一刻還在感謝天，這一刻卻呼喊著不公平，一年真的好快！只能期待下一年的亮點計畫，老師繼續用數學照亮我們。
「點亮宜小教學圖像」從奠基到共備觀議課
★亮點計畫緣起
花蓮縣吉安鄉宜昌國小是全台灣原住民最多的學校，是少數與市區同等的大校，但位在市郊，學生多元，差異化堪稱花蓮之最。資源班辦學卓越，新成立的資優班各項比賽成績優異，學生M型化至極，老師表面優勢有菁英的學生代表，往內一探，各種孩子錯落其中，疲於奔命，很難落實照顧孩子的個別差異。
2017年暑假數學營開辦，有趣的奠基模組吸引著老師們，於是在上學期很快達成聯署門檻，成功申請亮點計畫，在周三下午三次課程中進行活動師培訓。
同時也繼續申請平日班、寒假班數學營，讓老師們不間斷的感受奠基數學的魅力與影響，最終的目的期待能照顧後端的孩子，這也是當初一頭栽進奠基數學的初衷，想要幫助學習低成就的孩子不要放棄數學。
★從奠基活動師到共備觀議課
一個人可以走得快，一群人卻可以走得遠。上學期亮點計畫成功為學校蒐集了22位活動師，更透過數學營的共備嘗試凝聚老師們。但下學期平日班數學營因為校務繁忙而放棄，暑假班開始申請了，同樣面臨老師們意願低落的下場。
這樣的處境刺激著我，思考亮點申請的初衷：這不是老師們的需求嗎？想想，這終究是我一人的盼望，盼望著奠基模組有機會改變老師們的教學現場、盼望著孩子透過操作經驗的穩固學好數學......
按照亮點一年的計畫，理應繼續辦理活動師培訓，但上學期末意願調查中「教材脈絡分析」位居第一，險勝活動師培。可見講師對教材分析的專業度打動了老師們，讓大家迫切想在數學教學增能。
於是在與老師討論後，將教材分析當作「備課」，連結至「觀議課」，直接深入教學現場。夾帶著老師們高票的教材分析需求，連結至眾人閃避的觀議課，困難的同時有其契機與優勢。
宜昌國小從2013年開始接觸學習共同體，隔年陸續進行小型學年間的備課觀議課，這次透過亮點進行備課觀議課，能在新課綱公開課的上路前，讓學校邁向另一個重要的里程碑：形塑學校備課觀議課的氛圍，同事間互學、共好，一起照顧孩子的差異化需求。
★分數乘法教學示範
三月初，五年級數學進行至分數乘法單元，為了讓接下去的亮點觀議課更順利，老師先進到班級進行教學示範。透過一個鑽石爭奪戰的活動，將重要的數學概念串聯。最棒的是這些數學概念都是由孩子體驗完課堂活動後，所寫出來的數學想法(猜想)。在議課時，我們跟著老師學習分類孩子的數學想法，在下一堂課將這些關鍵想法，透過全班討論澄清，讓猜想效化到一般化。這樣以學生學習為 中心進行的課堂思辨過程，不僅學生學習，同時也讓觀課老師們經驗了臆測與論證的數學課。
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觀課老師：
分數的前置經驗很多，從3年級的真分數的「部分-全體」，到假分數與帶分數的「單位分量累加」，再到4年級的「整數相除的意涵」，皆是學生進入分數單元的先置經驗。另外本以為與此單元息息相關的分數整數倍，更是在今日獲得了澄清。
今日觀課發現「分數倍」才是整課的關鍵，若能有此概念，才能算得有意義，而不會僅流於形式上的運算。另外發現這樣的切入更能為未來「比較量與基準量」打下較好的基礎。若沒有掌握這個方向，極有可能與學生之前所學混淆，若直接用先前所學的分數整數倍+交換率完成此單元更是毫無進展。除此之外，對於分數在引入時是以連續量，但此處卻是以離散量切入，且主流教師手冊皆以此編撰，更於今日難得機會詢問志青老師後，得到了答案。
在議課時看到老師針對學生的學習單一一拆解，真的有如醫生看病一般，觀看著每位學生的學習病歷，並再針對問題設計接下來的教學，真的是收穫滿滿的兩堂課。不知為何腦中一直閃過「數學教學急不得」的念頭，若要確實解決每位學生的問題，相信即使是名醫也未必能藥到病除，但若能漸漸好轉，其實就足以令老師感動！
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從參與數學營到老師的教學示範，看著學年夥伴照雄老師寫出以上的觀課紀錄，我感受到喜愛數學的他，教學的熱忱像是被點燃了火光。即將在五月二日擔任亮點公開課的主角，老師與學年間同心協力，讓他在公開課得到更多的支持與成功經驗。
★亮點研習：教材分析與共備
講師專業的教材分析，整合低年級到高年級的幾何單元，將幾何分成「平面圖形」與「立體形體」，帶我們從課綱去檢查課本的編排是否合宜，提醒著各年級的老師們教學的目標與重心。
再來共備的部分，聚焦在四年級的面積、五年級的表面積單元，透過提問讓年段老師們為公開課的內容進行備課討論。
最後老師親自教學示範五年級的表面積單元，並將教學案例整理在部落格，把課程的教學脈絡寫得很仔細，讓老師在未來進行公開課前有了很好的參考範本。
在分析完康軒版從平面「展開圖」去學「表面積」後，覺得平常題目出現複合形體求表面積都是看見立體的而非平面，若用展開圖學表面積，和實際看到立體的圖形，這兩者的連結是切斷的。所以教學案例中，選擇直接讓孩子從立體的形體去觀察六個面，讓孩子從觀察、體驗中去發現表面積的計算方式就是六個面的表面積和。
案例中讓孩子自行發現與歸納出的學習重點（最後發現複合形體都是要扣掉重疊的那個面），這樣對孩子的學習更是深刻有意義。而不是老師直接宣告或幫孩子分好類別，讓孩子有機會從具體操作中去經驗數學、學習數學，相信對孩子的數學學習能更穩固。
老師的案例有個重點在談「以簡馭繁」，課本的各種複合形體，透過老師分析後，會發現其實都是兩個形體疊和，不管哪一種都是扣掉兩者重疊的部分就是了。
這樣精心設計教學後，最後讓孩子發現這簡單的規則，我們就不需要被課本的題目牽制，當發現都是「兩形體的表面和，再扣掉重疊的面」，題目就不需要一直算，把時間省下來，可以進行更多思考或操作的數學活動。
★亮點研習：觀議課
2018年5月2日，是個特別的日子，從上到下有校長的評鑑，下到上有教師亮點社群的觀議課，上下一致的和諧很可貴。
一早我走到校長與教務主任旁，確認說課時主任是否在場；準備著評鑑的校長，嚴正以待的同時，仍在對我訴說著上午的行程，我內心感動著說：「校長您忙評鑑，我跟主任確認就可以了！」
主任提醒我這是教師自主的社群，我可以自己主持，我點頭同意著，卻說：「主任可以幫忙主持很好啊！我們行政與教學很融洽，行政也是我們的一部分，大家一起其實不需要分開的 。」
校長評鑑結束，下午他提早出現在觀課的會場，我跟校長說謝謝他上午忙完大事下午可以休息了，我開玩笑說：「校長沒有參與備課觀課，所以不能跟我們議課喔！」他開心的說太棒了！他就可以休息，但我又說：「很歡迎校長先幫我們開場，您的關心老師們也會很高興！」校長就這樣留下來陪了我們兩場議課直到結束，他開心的說原來議課是這麼回事，討論孩子的過程有趣又有意義。
★指導老師的話
宜昌這次的共備有系統地進行，以「平面圖形與立體形體」為主題，四年級就配合調整課程順序，先上複合圖形的面積，五年級也配合調整課程順序，把表面積延後進行，讓五月二日兩個年級的類似主題能夠一氣呵成，進行兩場公開課與兩場議課。這讓共備更有功能性，可以讓一到六年級的平面圖形與立體形體單元都能先瀏覽一遍，了解整個數學脈絡，再做單一年級單一單元的課程設計
能見樹又見林。
在公開課前，五年級教師群一起幫助做了教具，還先進行了表面積課程
並且讓公開課的老師可以先看看，學生進行這樣的教案時會有哪些狀況，然後進行滾動式的修正。一個學習型組織就在這裡發生了，那樣的氛圍說有多美就有多美。
最精彩的議課更讓那一天的下午充滿了歡笑與感動。四年級的課程三、四年級老師一起來討論，從學生的紀錄聊起，三種在共備討論的學生可能解題策略
果然都出現了，那是令人振奮的一刻，而學生對於周長與面積混淆的迷思，果然出現了。對於課堂上出現學生的迷思，公開課老師也正向的看待，觀課老師分享
具體的操作仍然需要更多，幫助孩子建立更多的具體經驗，從學生的紀錄討論
為下一堂課做準備，這是真的大家在做數學的教學討論，而不是評價一場教學
氣氛令人陶醉。
五年級的課程，五、六年級老師一起來議課，因為大部分都是教過這個單元的老師，在觀察學生紀錄時更有感，加上有些老師參加過學習共同體的觀議課，
那記錄詳盡的令我佩服，討論起來不但深入而且細膩，有巨觀的看整場學習，也有微觀的看個別差異，這才是場真正的專業回饋。
議課結束，這幾個字宣布後，大家仍然沒有要離開的意思，意猶未盡的想要繼續聊下去，這樣的教師群，真的就是計畫名稱一樣，個個都是亮點.....
★亮點之後
以學生學習中心的理想，在花蓮以學測考試為重的現實下，困難重重。亮點期末研討會前一天正是花蓮全縣一到六年級的學測，研討會當天著實是花蓮區老師的取暖大會。
在朱志青老師臉書熱烈討論學測的弊病後，宜昌國小教師會也正式向議會提出陳情，最後號召縣教師會二百多人至現場聲援，初步免去了老師寫報告，為學生學習不利背黑鍋的指控。
但偏鄉孩子時間有限、學習起點太低，如何讓老師擺脫被時間追趕的焦慮，被分數領導的迷思，願意多些等待，把學習權還給孩子？
我們的確非常需要申請亮點基地學校，唯有這樣的時刻，才能讓老師們看見教學現場那微微的曙光。謝謝老師點燃了花蓮教育的希望，花蓮這次學測後政策的改變就是最好的證明。
要改變考試領導教學實真不容易，但這一年從來沒有小看一個人的力量，從一個人跟著一個人，再影響一人...故事開始了，就有力量繼續寫下去......
後記：
當老師之後，熱衷學習的心仍無差別，東學一點、西學一點是學出了什麼嗎？以世俗的觀點好像也可以說沒什麼成就；不過我也沒有很在意，在汲取新知當下的滿足感，驅動著我前進，一種求知若渴的感受與感動。
學習對於我不太是為了什麼目的或目標，單純的好奇心、喜愛追根究柢，更簡單的說法就是兩個字：喜歡。
這一年全新的學習型態，讓我有了全新的我，一個夢寐以求多年的理想，今年身體力行的實踐了。這讓我想起20多年前，大學的教育實習老師談的：老師如何維持教學熱忱？教師的支持社群是很重要的解方。
多年後才會發現，並不是每個人在教育工作上都期待夥伴關係，如果只當作是份工作的話更是。除非熱愛這份工作，才會期待透過工作活出自我價值。
而自我是需要透過夥伴的看見與被看見，彼此激勵成長的。這一年有了不同以往的蛻變，試著將自己投身在更大的教育價值中。
在往「無我」的路上前進時，一個不小心也可能變成「迷失自我」，這過程時時的覺察與反思也讓我學習收穫很多。
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