「長方形數」奠基模組 共備與教學紀錄
數學「奠基模組」從學生學習的困境孕育出的台灣品牌，2018暑假進軍韓國了https://www.youtube.com/watch?v=w2Ph9Gp2DBY。林福來教授透過「長方形數」向韓國人說出奠基模組研發過程，從爺爺陪著孫子玩遊戲開始，學習的本質正是如此打動人心。
影片分享回國的九月期初，也是我們線上跨校社群共備討論高年級因數、質數、合數單元的時候，好激勵人心。「長方形數」奠基模組從林福來教授到朱志青老師，再連結至花蓮跨校社群的夥伴，透過網路共備我們穿越了時空的限制。
＊與課程的銜接
「長方形數」奠基模組是五年級學習「因數」、六年級「質數」適合融入課程的奠基活動。
五年級從「整除」開始學習「因數」，再學「公因數」與「公倍數」的意義。六年級學「質數」為了後面的「質因數分解」，以及用「短除法」找公因、公倍數。這個奠基模組的操作就是為了奠基「因數」、「質數」、「合數」這些抽象數學名詞的具體心像。
＊以課綱為本
奠基活動從數學營的90分鐘，進到教室與教材銜接時，課本只是一個解釋框框就將名詞定義完畢，如果正式課堂融入奠基活動，會有進度上不完的問題嗎？找出課綱對應教科書，把課本分析當參考，透過課綱去檢核，分析學習脈絡與重心，才能展現教師的主體性。
在新課綱學習重點中，學習表現在第三階段（不論五年級或六年級）對應的都是n-III-3認識因數倍數質數最大公因數最小公倍數的意義計算與應用。第四階段國中的學習表現：n-IV-1理解因數倍數質數最大公因數最小公倍數的意義及熟練其計算，並能運用到日常生活的情境解決問題。
比較國小和國中的差異：國小階段放在認識，讓學生充分認識這些數學名詞、定義才是學習的核心；而不是求快計算卻一知半解，拼命短除法計算各類型的應用題，以至於基本的質因數分解是什麼？為什麼要用？短除法怎麼來的？都說不清楚。
國中才是理解熟練和運用在生活中。清楚課綱不同階段的不同學習重點後，小學老師可以不用那麼懊惱為何孩子不太會算又不太懂；國中老師也不用擔心國小全部都教完了，但其實沒學好，又要從頭教一遍！
＊引動思考、有感的學習、師生共建知識、診斷介入
以課綱為本，抓住教學核心後，就有機會把學習還給孩子，充分的操作奠基活動。讓學生在遊戲中思考與感受，再透過學習單紀錄、課堂討論，將數字透過排棋子分類，學習像數學家一樣進行思考、歸納與命名。在操作遊戲中讓這些課本裡原本抽象的因數、質數、合數等數學名詞圖像化，在有感的活動進行後，才為這些不同得分的數字分類取名字，進到數學名詞定義。這樣以學生學習中心的方式，終能打破課本傳統講述式直接定義「因數」、「質數」與「合數」。（http://goechu.pixnet.net/blog/post/464827322參考「和質數建立感情」六年級奠基進教室教學案例。）
＊共備與教學現場
在群組的討論很精彩，有志青老師過去尖石數學營、崇德六年級進教室（奠基數學在崇德https://www.youtube.com/watch?v=RtA_JfKdvDI）、實驗五年級現場與六年級共備的豐富經驗，甚至與福來老師討論拍攝奠基進教室示範的最新動態與指導。加上三棧佩君以及化仁佩珊兩位五年級老師，還有我在宜昌五年級到現在六年級的現場，大家一起交流討論數學，真好！
1.六年級共備現場
奠基活動原數學營設計是按照不同得分的數字分類，命名。進教室與正式課程銜接後，我簡化遊戲只分成兩類：能排成長方形數的一類、不能排成長方形數的一類。能排成長方形的就是「合數」，不能排長方形就是「質數」。可以排出「長方形」的數字就能得分，無法排出長方形數，只排出一排（一直線的）就不能得分。表格設計也從原本數字1-50，簡化成1-24。最後設計兩人競賽的方式，增加操作的動機與樂趣。
雖然是一年後的六年級再玩一次，學生居然沒什麼印象，活動很順利的排棋子。第一堂時間過半開始討論，馬上有人說出質數，於是從質數展開，回到因數複習，才回來分類變成回家作業單。不過也因為學生很快進到質數名稱，所以命名活動的動力就少了。群組分享與交流後，覺得我的班級應該可以再放慢步調，把焦點放在「沒得分」被打叉叉的質數，多些引導「獲勝的關鍵是什麼？」透過學習單紀錄的叉叉以及命名再去討論強化，這樣更能看清楚林福來老師說的「把質數的圖像突顯出來」。
2.五年級共備現場
五年級上學期是模組銜接教材的第一時間點，可以透過具體物建立因數的心像。而五年級課本另一個與長方形數相似的活動：用正方形小紙片排成「長方形」，看有幾種排法（窮盡因數）？最後列出乘法或除法算式，找到該數字的所有因數。群組中對於應該使用「圓形」圍棋，還是1立方公分「正方形」小白積木去操作呢？有了一番的討論與學習：
以上佩君老師在三棧國小的教學現場，在未來教學建議：五年級學習目標是為了窮盡因數，若用長方形數模組，遊戲規則應調整，才能避免排成一排的因數分解(1*自己)被隔開了，產生了佩君老師上面討論的疑慮。或是選擇使用小白積木直接排長方形，六年級第二次操作這模組再分類命名，因為那是六年級定義質數合數的學習內容。
以上佩珊老師在化仁國小五年級的教學現場，學生命名因數的過程更有感有趣，很有奠基精神。
以上教學建議：我覺得五年級操作這模組不需要特別介紹"長方形數"，只要是能排成1排1排的，不管什麼形狀都可以說整除，可以找到全部的因數就好了。
＊下一次進教室更好
未來五年級操作這個奠基模組我的選擇與調整：同樣使用圍棋與模組，但遊戲規則會調整，例如給學生4顆棋子，關鍵提問可以是：「4顆棋子可以排成幾排？」「寫成算式要怎麼表示？」答案可以排1排（4＝1×4），也可以排2排（4＝2×2）找到1種排法得1分，找到幾種排法就得幾分，4這個數字就可以得2分。這遊戲的目的就是把所有的因數找到，操作後可以帶入「整除」的意義以及「因數」的命名活動。
六年級操作「長方形數」模組，才是完整進入這模組的學習核心。關鍵提問變成「4顆棋子可以排成長方形嗎？（棋子要接密，不能空心）」透過不能排成長方形，只能排1排(一直線)的數被打叉叉，沒有得分的數字像是2、3、5、7等，就是後來數學上命名的「質數」，相反可以排成長方形的就是「合數」。同樣玩完後再帶孩子從學習單討論分類打叉不能排出長方形的可以命名？數學定義上的「質數」，反之能排出長方形的就是合數。
＊後記
期末參加亮點研討會，幾位數學前輩聊著花蓮奠基進教室能這樣的發展，覺得不容易，也不可思議！本來沒有要整理這個教學紀錄，期末才感受到未來的變數太多了，回首期初恍然覺得珍貴，應該慎重地將這過程記錄下來。
投入數學奠基活動是有更深遠的理想的。我的教學生涯從未離開現場級任導師，眼看就要邁入20年，在遇到奠基模組後，讓我不得不佩服林福來老師，一位離現場非常遙遠，在學術殿堂上的教授學者，引領著台灣數學教育的未來，卻和孩子、和基層教師零距離。像這次研討會，教授期望指導亮點的教授們也能與被指導的學校分享者一同站在台上，分享彼此教與學的看見，這樣共好與一致的氛圍很令人欽佩，就像現場的我們也總是將學生當作老師啊！
林福來老師帶領的中央輔導團數學老師們，透過推廣「就是要學好數學計畫」如此務實貼近現場師生，讓我看到台灣體制內教育的希望：破除傳統填鴨教育，直指學生的學習本質！而奠基活動的研發與教學嘗試，呼應著新課綱的素養教學，成了孩子學習的解方，太令人驚嘆折服了。
對於懷抱理想數十年如一日的我，對於身在體制內卻懷抱體制外的開放，努力不背離學生為本的我，沒想到是在數學教育上一點都不孤單。這不就是當初自己選擇在體制內工作的初衷嗎？就算在體制內，也要鬆綁升學主義、突破成績至上的思想啊！這一年因為投入奠基活動有這樣的連線，讓理想因共好因站在巨人的肩上有更多實踐的機會。
但這樣華麗的轉身，回到現實是在後山，全台學力最後一名的縣市。可以想像這兒的學習風氣與教學的主流是拯救成績，為脫離最後一名而努力，不要讓人看輕，這太合理太有道理了！這樣的環境下，孩子要翻身就是讀書拿高分啊！成績的現實日日啃蝕著理想，實踐理想不應該跟成績背道而馳的啊！但這就是離起跑點太遠的日常。最後還是要握拳的說：「把時間花給孩子操作奠基活動在這裡真的真的不是一件容易的事！」
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