分數除法「顛倒的世界」
「我看見顛倒世界！」當第一位孩子說出她的發現，瞬間讓屏氣凝神的教室一片驚呼！
◎從備課開始說起
謝堅教授說：「分數除法學的是兩種策略：一、換單位（換成同分母）。二、倒數策略。」
暑假備課看謝堅教授的影片果然沒有白費、暑假追星到台南聽謝堅教授的現場也沒有白費、一年前看志青老師的「射日英雄」教學案例也沒有白白浪費，一切真是太好了！
「倒數策略」談的是基準量與比較量的互換，背後的概念是倍的關係。六年級進到異分母的除法，又該如何讓孩子充分理解「÷b/a＝×a/b」呢？不想走「換單位」的策略，是因為教學已失去了情境，只是形式化看算則。那麼還有第二條路「倒數策略」可以試試。而我有辦法嗎？
◎教學脈絡
我想起分數除法的教學案例「射日英雄」，那個太魯閣族傳說故事的情境...幸好還有神救援！「分數除法」在活動一最簡分數、活動二同分母分數除法後，我在第三堂課說了這個射日英雄的故事，把活動三「整數除以分數」和「異分母分數除法」一起透過情境展開了我的教學。
◎教學現場
順著太魯閣傳說故事射日英雄的情境：
3/5公尺做一支箭
1/5公尺可以做幾支箭？
透過分數牆具體物，馬上理解1/3支
2/5公尺可以做幾支箭？馬上看見2/3支
3/5公尺可以做幾支箭？又回到1支箭啦！
4/5公尺可以做幾支箭？4/3支
5/5公尺可以做幾支箭？5/3支
把3/5公尺＝1支
和1公尺＝5/3支
放在一起讓學生看列式
以上的脈絡，倒數的概念就這樣神奇的出現在學生面前。
接著
1公尺可以做5/3支箭，重新佈題：
2公尺可以做幾支箭？
學生開始發現了兩種解題策略
學生甲說：2÷3/5（解釋：2公尺的竹子，每3/5公尺做1支箭...）
學生乙說：5/3×2（解釋：1公尺是5/3支箭，2公尺就是...）
再試一題
3公尺可以做幾支箭？
學生丙說：3÷3/5
學生丁說：5/3×3
分數除法，顛倒相乘的證明就這樣在情境中發生了：
2÷3/5＝5/3×2
3÷3/5＝5/3×3
老師換一下右邊乘法列式，看得更清楚：
2÷3/5＝2×5/3
3÷3/5＝3×5/3
孩子們眼睛發亮的「顛倒世界」就這樣出現了！透過「倒數」概念，在情境中學「顛倒相乘」，我和孩子都好享受這樣的思考歷程。
後來，翻開課本：「甲是乙的幾倍，乙是甲的幾倍？」
上圖，課本的題目用帶分數表示的答案完全看不出倒數和基準量比較量的概念，於是同樣的題目(下圖)透過黑板再帶孩子討論一次：
這躲在題目裡的倒數概念，馬上被揪出來囉！未來單元「比較量與基準量」的教學脈絡已悄悄連結，孩子的數感和老師的數感都提升不少，數學真有趣！
下課了，坐在後頭的太魯閣族實習老師居然主動說：「老師，我今天可以寫心得給你。」太開心這有感的課堂從我和孩子傳遞下去，未來有可能接續到實習老師的課堂......
◎實習老師的記錄：
按照學生習慣的作法（前一天的活動二同分母除法），利用除法可以算出：「用1公尺可以做出5/3支的箭」，「用2公尺可以做出10/3支箭」，「用3公尺可以做出15/3支箭」以此類推；其中我們可以發現到：「1公尺可以做出5/3支的箭，那2公尺等同於5/3支箭的2倍，3公尺等同於5/3的3倍。」
由兩種式子以圖解方式可以發現到「1÷3/5=1×5/3」，「2÷3/5=2×5/3 」以此類推，再透過乘法中的交換律得以證明「顛倒相乘」。
我想這就是數學中的奧妙，以往在我小學的階段當中被灌輸的只有背公式，並不了解為何分數的除法可以將式子顛倒相乘，又為何一定要顛倒相乘比較好計算？如今在劉老師的這堂課當中，我了解到數學奇妙神奇的地方，也幫我上了一堂教學觀摩課。
我們知道孩子在進步老師、也跟著進步，學生學習速度很快，老師更要比學生學習得更快。今天告訴學生公式他們一定會，甚至覺得太簡單反而感到沒興趣聽；但老師可以設計出讓學生有興趣的課堂，並且要讓學生實際操作使得學習上變得更有意義、更有效益。更重要的是要讓學生清楚了解數學的意義及活用在生活上任何情境。
◎備課參考
2.謝堅教授倒數概念教學影片
https://www.youtube.com/watch?v=Bgc_QTzm3kc&feature=youtu.be&list=PLGcWNkTjZwOrwe-OZ0fwUjLbQ9tzygaaQ
3.數學筆記(同分母分數除法 學生作品)
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